[统计学笔记] 参数估计和假设检验计算题精讲-白红宇

[统计学笔记] 参数估计和假设检验计算题精讲

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发布时间：2019-05-24

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参数估计和假设检验计算题精讲

习题1

设某产品的指标服从正态分布，它的标准差 σ 已知为150，今抽了一个容量为26的样本，计算得平均值为1637。问在5％的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值 μ 为1600?

解答：

根据题意知：标准差 $\sigma = 150$ ， $n=26$ ， $\alpha =0.05$ ， $z_{\alpha /2} = z_{0.025} = z_{0.975} = 1.96$ ，

令： $H_{0}$ ： $\mu =1600$ ； $H_{1}$ ： $\mu \neq =1600$ ；

拒绝域为： $\left | Z \right | > z_{\alpha /2}$

由检验统计量： $\left | Z \right | = \left | \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma /\sqrt{n}} \right | = \left | \frac{1637-1600}{150/\sqrt{26}} \right | = 1.25 < 1.96$

所以，应该接受 $H_{0}$ ： $\mu =1600$

解答完毕。

习题2

某电器零件的平均电阻一直保持在2.64Ω，改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62Ω，如改变工艺前后电阻的标准差保持在O.06Ω，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响(α=0.05)?

解答：

根据题意知：标准差 $\sigma = 0.06$ ， $n=100$ ， $\alpha =0.05$ ， $z_{\alpha /2} = z_{0.025} = z_{0.975} = 1.96$ ，

令： $H_{0}$ ： $\mu =2.64$ ； $H_{1}$ ： $\mu \neq 2.64$ ；

拒绝域为： $\left | Z \right | > z_{\alpha /2}$

由检验统计量： $\left | Z \right | = \left | \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma /\sqrt{n}} \right | = \left | \frac{2.62-2.64}{0.06/\sqrt{100}} \right | = 3.33 > 1.96$

所以，应该接受 $H_{1}$ ： $\mu \neq 2.64$

解答完毕。

习题3

有一批产品，取50个样品，其中含有4个次品。在这样情况下，判断假设 $H_{0}$ ： $p\leq 0.05$ ( $\alpha =0.05$ )?

解: 根据题意知： $H_{0}$ ： $p\leq 0.05$ ； $H_{1}$ ： $p > 0.05$

采用非正态大样本统计检验法，拒绝域为 $Z > z_{\alpha}$ ， $\alpha =0.05$ ，则 $z_{\alpha } = z_{0.95} = 1.65$

$n=50$ ，由检验统计量：

$Z = \frac{x/n-p}{\sqrt{p\times \left ( 1-p \right )/n}} = \frac{4/50-0.05}{\sqrt{0.05\times \left ( 1-0.05 \right )/50}} = 0.9733$

由于 $0.9733 < 1.65$ ，

故：接受 $H_{0}$ ： $p\leq 0.05$

解答完毕。

习题4

某产品的次品率为0.17，现对此产品进行新工艺试验，从中抽取400件检验，发现有次品56件，能否认为此项新工艺提高了产品的质量( $\alpha =0.05$ )?

解: 根据题意知： $H_{0}$ ： $p \geq 0.17$ ； $H_{1}$ ： $p < 0.17$ ，

采用非正态大样本统计检验法，拒绝域为： $Z > - z_{\alpha}$ ， $n=400$ ，

由于： $\alpha =0.05$ ，则： $- z_{\alpha } = - z_{0.95} = -1.65$

$Z = \frac{\sum_{i=1}^{400}x_{i}-np}{\sqrt{n\times p\times \left ( 1-p \right )}} = \frac{56-400\times 0.17}{\sqrt{400\times 0.17\times 0.83}} = -1.5973 > -1.65$

故：接受 $H_{0}$ ： $p \geq 0.17$

即以 95%的把握认为此项新工艺没有明显地提高产品的质量。

解答完毕。

习题5

从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，计算得 $\overline{x} = 11958$ ，样本标准差 $s=323$ ，问以5％的显著水平是否可认为发热量的期望值是12100(假定发热量是服从正态分布的)?

解: 根据题意知： $H_{0}$ ： $\mu = 12100$ ； $H_{1}$ ： $\mu \neq 12100$ ; 总体标准差 $\sigma$ 未知，

拒绝域为 $\left | t \right | > t_{\alpha /2}\left ( n-1 \right )$ ， $n=24$ ， $\overline{x}=11958$ ， $S= 323$ ， $t_{0.025}\left ( 23 \right ) = 2.0687$ $\alpha =0.05$ ，

由检验统计量： $\left | t \right | =\left | \frac{\overline{x} - \mu }{s/\sqrt{n}}\right | = \left | \frac{11958 - 12100 }{323/ \sqrt{24}} \right | = 2.1537 > 2.0687$

所以：拒绝 $H_{0}$ ；接受 $H_{1}$ ： $\mu \neq 12100$

即，以95%的把握认为试验物的发热量的期望不是 12100。

解答完毕。

习题6

某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500克，每隔一定时间需要检查机器工作情况。现抽得10罐，测得其重量为(单位：克):195，510，505，498，503，492，502，612，407，506。假定重量服从正态分布，试问以95％的显著性检验机器工作是否正常?

解: 根据题意知： $H_{0}$ ： $\mu = 500$ ； $H_{1}$ ： $\mu \neq 500$ ; 总体标准差 $\sigma$ 未知，

拒绝域为 $\left | t \right | > t_{\alpha /2}\left ( n-1 \right )$ ， $n=10$ ， $\overline{x}=502$ ， $S= 6.4979$ ， $\alpha =0.05$ ， $t_{0.025}\left ( 9 \right ) = 2.2622$ ，

由检验统计量： $\left | t \right | =\left | \frac{\overline{x} - \mu }{s/\sqrt{n}}\right | = \left | \frac{502 - 500 }{6.4979/ \sqrt{10}} \right | = 0.9733 > 2.2622$ ，

所以：接受 $H_{0}$ ： $\mu = 500$ ；拒绝 $H_{1}$ ： $\mu \neq 500$

即，以95%的把握认为机器工作是正常的。

解答完毕。

习题7

有一种新安眠药，据说在一定剂量下，能比某种旧安眠药平均增加睡眠时间3小时，根据资料用某种旧安眠药时，平均睡眠时间为20.8小时。标准差为1.6小时，为了检验这个说法是否正确，收集到一组使用新安眠药的睡眠时间为26.7，22.0，24.1，21.0，27 .2，25.0，23.4。试问：从这组数据能否说明新安眠药已达到新的疗效(假定睡眠时间服从正态分布，α=0.05)。

解: 根据题意知： $H_{0}$ ： $\mu \geq 23.8$ ； $H_{1}$ ： $\mu < 23.8$ ; 总体标准差 $\sigma$ 已知为： $\sigma = 1.6$ ，

拒绝域为： $Z < - z_{\alpha}$ ， $n=7$ ，经计算得到： $\overline{x}=24.2$ ，取 $\alpha =0.05$ ， $- z_{\alpha } = - z_{0.95} = -1.65$ ，

由检验统计量： $Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma /\sqrt{n}}= \frac{24.2-23.8}{1.6/\sqrt{7}} = 0.66143 > -1.65$

所以：接受 $H_{0}$ ： $\mu \geq 23.8$ ；拒绝 $H_{1}$ ： $\mu < 23.8$

即，以95%的把握认为新安眠药已经达到了新的疗效。

解答完毕。

习题8

测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出 $\overline{x}$ =0. $\chi _{0.975}^{2}\left ( 9 \right ) = 2.7$

(2) $H_{0}$ ： $\sigma$ =0.04％， $H_{1}$ ： $\sigma \neq$ 0.04％

解:

（1）根据题意知： $H_{0}$ ： $\mu$ =0.5%; $H_{1}$ ： $\mu\neq$ 0.5%，总体标准差 $\sigma$ 未知，

拒绝域为： $\left | t \right | > t_{\alpha /2}\left ( n-1 \right )$ ， $n=10$ ， $\overline{x}$ =0.452%，s=0.037%，

取 $\alpha =0.05$ ， $t_{0.025}\left (9 \right ) = 2.2622$ ，

由检验统计量 $\left | t \right | =\left | \frac{\overline{x} - \mu }{s/\sqrt{n}}\right | = \left | \frac{0.00452 - 0.005 }{0.00037/ \sqrt{10}} \right | = 4.102 > 2.2622$

所以：拒绝 $H_{0}$ ： $\mu$ =0.5%

（2）根据题意知： $H_{0}$ ： $\sigma$ =0.04％； $H_{1}$ ： $\sigma \neq$ 0.04％，

拒绝域为： $\chi ^{2} \leq \chi_{1-\alpha /2}^{2}\left ( n-1 \right )$ 或 $\chi ^{2}\geq \chi_{\alpha /2}^{2}\left ( n-1 \right )$ ， $n=10$ ，取 $\alpha =0.05$ ， $\chi _{0.975}^{2} \left ( 9 \right )= 2.7$